Пусть имеются две векторные случайные величины порядка n и m соответственно.
Пусть далее у них имеется совместная плотность распределения вероятностей где x и y - аргументы функции плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и
.
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что реализация вектора
, будет функция
.
Условным математическим ожиданием случайного вектора
при условии
называются первые моменты от условной плотности распределения
=
,
где представляет собой сокращенное обозначение n-кратного интеграла
.
Из определенных выше выражений вытекает известная формула для условных математических ожиданий
Которая получается из следующей цепочки равенств:
Вторые центральные моменты от функции условной плотности распределения образуют ковариационную матрицу
условного распределения
.
Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного вектора нужно построить оценки
для элементов неизвестного для наблюдателя случайного вектора
. При этом оценки
представляющие собой фукции от аргумента
, должны удовлетворять условию минимума дисперсии для погрешности оценивания
Минимум в последнем соотношении берется по всем всевозможным видам функции Докажем, что функцией на которой реализуется минимум, будет условное математическое ожидание
Доказательство следует из цепочки равенств
=
,
Где , положительная и не зависящая от выбора функции
величина.
Выражение достигает своего минимума при .
Итак, оценка , оптимальная в смысле наименьшей дисперсии, совпадает с условным математическим ожиданием.
Далее для краткости записи для обозначения случайных величин , их плотностей, математических ожиданий и ковариационных матриц мы будем применять конкретные реализации
Рассмотрим теперь задачу на определение условной гауссовской плотности вероятности. Пусть задан нормальный случайный вектор , состоящий из двух векторов z и y, размерности которых n и m соответственно. Математические ожидания
этих векторов, а также ковариационные матрицы
считаются известными. Также считаем, что
, т.е. случайный вектор y является невырожденным.
Другие статьи по теме
Методы стабилизации коэффициента усиления оптических усилителей
В настоящее время оптоволоконные сети являются самым перспективным видом
информационных сетей, что обусловлено множеством их преимуществ. В то время как
одна из проблем коаксиальных кабе ...
Использование IP-телефонии при ликвидации чрезвычайных ситуаций
Без
широкого применения средств связи, автоматизированных систем управления,
использующих современные информационные, коммуникационные технологии и новейшую
вычислительную технику, нево ...
Механизмы фотоаппарата
В
современном мире фотография является средством информирования людей о событиях
в мире, средством научных исследований, видом искусства. Изобретение фотографии
относится к 1839году. Че ...