techspirit.ru

Главное

Свойства условных вероятностей

Пусть имеются две векторные случайные величины порядка n и m соответственно.

Пусть далее у них имеется совместная плотность распределения вероятностей где x и y - аргументы функции плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и .

Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что реализация вектора , будет функция

Условным математическим ожиданием случайного вектора при условии называются первые моменты от условной плотности распределения

где представляет собой сокращенное обозначение n-кратного интеграла .

Из определенных выше выражений вытекает известная формула для условных математических ожиданий

Которая получается из следующей цепочки равенств:

Вторые центральные моменты от функции условной плотности распределения образуют ковариационную матрицу условного распределения

Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного вектора нужно построить оценки для элементов неизвестного для наблюдателя случайного вектора . При этом оценки представляющие собой фукции от аргумента , должны удовлетворять условию минимума дисперсии для погрешности оценивания

Минимум в последнем соотношении берется по всем всевозможным видам функции Докажем, что функцией на которой реализуется минимум, будет условное математическое ожидание

Доказательство следует из цепочки равенств

Где , положительная и не зависящая от выбора функции величина.

Выражение достигает своего минимума при .

Итак, оценка , оптимальная в смысле наименьшей дисперсии, совпадает с условным математическим ожиданием.

Далее для краткости записи для обозначения случайных величин , их плотностей, математических ожиданий и ковариационных матриц мы будем применять конкретные реализации

Рассмотрим теперь задачу на определение условной гауссовской плотности вероятности. Пусть задан нормальный случайный вектор , состоящий из двух векторов z и y, размерности которых n и m соответственно. Математические ожидания этих векторов, а также ковариационные матрицы считаются известными. Также считаем, что , т.е. случайный вектор y является невырожденным.

Перейти на страницу: 1 2

Другие статьи по теме

Методы стабилизации коэффициента усиления оптических усилителей
В настоящее время оптоволоконные сети являются самым перспективным видом информационных сетей, что обусловлено множеством их преимуществ. В то время как одна из проблем коаксиальных кабе ...

Использование IP-телефонии при ликвидации чрезвычайных ситуаций
Без широкого применения средств связи, автоматизированных систем управления, использующих современные информационные, коммуникационные технологии и новейшую вычислительную технику, нево ...

Механизмы фотоаппарата
В современном мире фотография является средством информирования людей о событиях в мире, средством научных исследований, видом искусства. Изобретение фотографии относится к 1839году. Че ...