Преобразованием Лапласа называется выражение:
где вещественной переменной, являющейся функцией X(t) соответствует ее изображение X(P), которое является переменной или функцией комплексного переменного P=a+ib,
X(t)-оригинал функции,X(P)-его изображение:
L{X(t)}=X(P);
Свойства оригинала:
1. кусочно-дифференцируема на [0;¥); X(t)=0 при t<0;
Свойства изображения:
1. Линейность L{f1(t)+f2(t)}=F1(P)+F2(P);
2. Дифференцирование оригинала L{X(n)(t)}=PnL{X(t)}=PnX(P);
Интегрирование оригинала:
1. Теорема запаздывания: Если аргумент оригинала имеет какой-то временной сдвиг, то:
L{X(t-t)}= {X(t)}= e-ptL X(P);
2. Теорема о свертке (умножение оригиналов):
1. Теорема разложения: Если изображение определяется отношением полинома A(P)/B(P)=X(P), то оригинал должен быть дробно-рациональным, т.е. степень числителя меньше степени знаменателя:
где Pk -корни уравнения B(P), nk-число кратных корней, l-число различных корней;
Обратное преобразование:
Дифференцированию и интегрированию оригинала соответствуют алгебраические операции над их изображениями, это свойство используют для решения обычных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, сначала уравнение преобразовывают по Лапласу, после чего получают алгебраическое уравнение относительно изображений.
Входные и выходные процессы в системах управления и регулирования, а также управления состояния могут быть представлены в форме дифференциальных уравнений. В общем виде дифференциальное уравнение относительно входного и выходного воздействия можно записать в виде:
После преобразования Лапласа:
Это преобразование возможно при нулевых начальных условиях.
W(P)-передаточная функция -это отношение выходной величины по Лапласу к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:
Другие статьи по теме
Использование среды Cadence Virtuoso для проектирования интегральных микросхем
Принятая на сегодняшний день модель развития промышленности предполагает
широкую роботизацию‚ создание гибких автоматизированных производств и отводит
особое место микроэлектронике как с ...
Исследование алгоритма оценивания стохастических динамических систем
Целью
данной работы является исследование алгоритма оценивания стохастических
динамических систем называемого Фильтром Калмана. Задачей работы помимо
исследования алгоритма является реа ...
Моделирование и оценка производительности работы защищенных каналов в корпоративных сетях
В первое поколение (1945-1954) развития компьютерной техники, Клод Шеннон
(создатель теории информации), Алан Тьюринг (математик, разработавший теорию
программ и алгоритмов) и Джон фон Н ...